George Polya ünlü alıntılar

Matematik en ucuz bilimdir. Fizik veya kimyadan farklı olarak pahalı ekipman gerektirmez. Matematiğin tek ihtiyacı bir kalem ve kağıttır.

Büyük bir keşif büyük bir sorunu çözer, ancak herhangi bir sorunun çözümünde bir keşif tanesi vardır. Sorununuz mütevazı olabilir, ancak merakınıza meydan okur ve yaratıcı yeteneklerinizi devreye sokarsa ve bunu kendi yöntemlerinizle çözerseniz, gerginliği yaşayabilir ve keşfin zaferinin tadını çıkarabilirsiniz.

Nereden başlamalıyım? Sorunun ifadesinden başlayın. ... Ne yapabilirim? Sorunu bir bütün olarak olabildiğince net ve canlı bir şekilde görselleştirin. ... Bunu yaparak ne kazanabilirim? Sorunu anlamalı, ona aşina olmalı, amacını zihninizde etkilemelisiniz.

Oldukça iyi öğrenciler bile, sorunun çözümünü elde edip tartışmayı düzgün bir şekilde yazdıklarında kitaplarını kapatırlar ve başka bir şey ararlar. Bunu yaparken, çalışmanın önemli ve öğretici bir aşamasını kaçırırlar. ... İyi bir öğretmen, öğrencilerine, tamamen tükenmiş olan her şeyin sorun olmadığı görüşünü anlamalı ve etkilemelidir.

Matematikteki güzellik, gerçeği çaba harcamadan görmektir.

Bilgiçlik ve ustalık, kurallara karşı zıt tutumlardır. Mektuba katı, tartışmasız, uyduğu durumlarda ve uymadığı durumlarda bir kural uygulamak bilgiçliktir. [...] Bir kuralı doğal bir kolaylıkla, yargıyla, uygun olduğu durumları fark ederek ve kuralın sözlerinin eylemin amacını veya durumun olanaklarını gizlemesine asla izin vermeden uygulamak ustalıktır.

Yüzmeyi öğrenmek istiyorsanız suya girmelisiniz ve problem çözücü olmak istiyorsanız problemleri çözmelisiniz.

Newton üzerine Kitabe: Doğa ve Doğa yasası gece saklandı: Tanrı şöyle dedi: "Newton olsun!" her şey aydınlıktı. [Sir John Collings Squire tarafından eklendi: Sürmedi: Şeytan bağırıyor "Ho. Einstein olsun, "statükoyu geri getirdi] [Aaron Hill'in versiyonu: Doğa yasalarına göre Tanrı gecenin perdesini araladı, bir Newton'un ruhunu kararttı ve her şey aydınlıktı.

Bir zorluğun üstesinden gelmek için benim yöntemim onu aşmaktır.

Bir cümleyi ingilizce'den Fransızca'ya çevirmek için iki şey gereklidir. Öncelikle ingilizce cümleyi iyice anlamalıyız. İkincisi, Fransız diline özgü ifade biçimlerine aşina olmalıyız. Matematiksel sembollerle kelimelerle önerilen bir koşulu ifade etmeye çalıştığımızda durum çok benzer. İlk olarak, durumu iyice anlamalıyız. İkincisi, matematiksel ifade biçimlerine aşina olmalıyız.

Problemleri çözmek, diyelim ki yüzmek gibi pratik bir beceridir. Taklit ve pratik yaparak herhangi bir pratik beceri kazanırız. Yüzmeye çalışırken, başkalarının başlarını suyun üstünde tutmak için elleri ve ayaklarıyla yaptıklarını taklit edersiniz ve son olarak yüzmeyi pratik yaparak yüzmeyi öğrenirsiniz. Sorunları çözmeye çalışırken, başkalarının sorunları çözerken yaptıklarını gözlemlemeniz ve taklit etmeniz gerekir ve son olarak bunları yaparak sorunları yapmayı öğrenirsiniz.

Çözemediğiniz bir sorun varsa, çözemediğiniz daha kolay bir sorun vardır: onu bulun.

Tarzın ilk kuralı söyleyecek bir şeyin olmasıdır. Tarzın ikinci kuralı, tesadüfen söyleyecek iki şeyiniz olduğunda kendinizi kontrol etmektir; önce birini, sonra diğerini söyleyin, ikisini aynı anda değil.

Felsefe için çok iyiyim ve fizik için yeterince iyi değilim. Matematik aradadır.

Matematik seyirci sporu değildir!

Matematik, en belirgin şeyi en az belirgin şekilde kanıtlamaktan ibarettir.

Sorunu çözmedeki başarı, doğru yönü seçmeye, kaleye erişilebilir tarafından saldırmaya bağlıdır.

Bir sorunu beş farklı şekilde çözmek, beş sorunu tek yönlü çözmekten daha iyidir.

Matematiğin iki yüzü vardır: Öklid'in titiz bilimidir, ama aynı zamanda başka bir şeydir. Öklid tarzında sunulan matematik sistematik, tümdengelimli bir bilim olarak görünür; ancak yapımdaki matematik deneysel, tümevarımsal bir bilim olarak görünür. Her iki yön de matematik biliminin kendisi kadar eskidir.

Verilerden bilinmeyene ve hipotezden sonuca acımasızca ilerleyen Öklid 'in açıklama tarzı, argümanı ayrıntılı olarak kontrol etmek için mükemmeldir, ancak argümanın ana satırını anlaşılır kılmak için mükemmel olmaktan uzaktır.

Benzetme, tüm düşüncemize, günlük konuşmamıza ve önemsiz sonuçlarımıza, sanatsal ifade biçimlerimize ve en yüksek bilimsel başarılarımıza nüfuz eder.

Bu diferansiyel denklemi çözmek için size bir çözüm gelene kadar ona bakarsınız.

Polyhedra hakkındaki teoreminin (yüz, kenar ve köşe sayısı üzerine) ilk kez yayınlandığı "yorum" da (Rus Akademisine sunulan not) Euler hiçbir kanıt vermez. Bir kanıt yerine tümevarımsal bir argüman sunar: ilişkiyi çeşitli özel durumlarda doğrular. Teoremi, diğer sonuçlarının çoğu gibi, indüktif olarak da keşfettiğine dair çok az şüphe var.

Bu arada, Euler'in zamanında var olmayan standart terimden kasıtlı olarak kaçınıyorum. "Yeni matematik" in en çirkin gelişmelerinden biri, teknik terimlerin erken tanıtılmasıydı.

Sadece genelleme yapabilen bir matematikçi, sadece bir ağaca tırmanabilen bir maymun gibidir ve sadece uzmanlaşabilen bir matematikçi, sadece bir ağaca tırmanabilen bir maymun gibidir. Aslında ne yukarı maymun ne de aşağı maymun canlı bir yaratık değildir. Gerçek bir maymun yiyecek bulmalı ve düşmanlarından kaçmalı ve bu nedenle durmadan yukarı ve aşağı tırmanabilmelidir. Gerçek bir matematikçi genelleme yapabilmeli ve uzmanlaşabilmelidir.

Hilbert'in bir zamanlar derslerine gelmeyi bırakan bir matematik öğrencisi vardı ve sonunda genç adamın şair olmaya gittiği söylendi. Hilbert'in şu sözleri söylediği bildiriliyor: 'Matematikçi olmak için yeterli hayal gücüne sahip olduğunu hiç düşünmemiştim.'

İlke o kadar geneldir ki, bunun özel bir uygulaması mümkün değildir.

Lisenin matematik öğretimindeki ilk ve en önemli görevi, problem çözmede metodik çalışmayı vurgulamaktır...Tüm öğrencilerine, gelecekteki kullanıcılarına ve matematik kullanmayanlara eşit olarak hizmet etmek isteyen öğretmen, matematiğin yaklaşık üçte biri ve sağduyunun üçte ikisi olacak şekilde problem çözmeyi öğretmelidir.

Doğru yazmak ve konuşmak kesinlikle gereklidir; ama yeterli değil. Kitapta veya yazı tahtasında doğru bir şekilde sunulan bir türetme, birbirini izleyen adımların amacı anlaşılmazsa, okuyucu veya dinleyici böyle bir argümanı bulmanın insanca nasıl mümkün olduğunu anlayamazsa erişilemez ve yapıcı olmayabilir....

Bir kez kullanılabilecek bir fikir bir numaradır. Bir kereden fazla kullanılabiliyorsa, bir yöntem haline gelir.

Fikirlerin en iyisi eleştirel olmayan kabulden zarar görür ve eleştirel incelemede büyür.

BÜYÜK bir keşif büyük bir sorunu çözer, ancak herhangi bir problemde bir keşif tanesi vardır.

Matematiksel bir teoremin zarafeti, teoremde görülebilen bağımsız fikirlerin sayısıyla doğru orantılıdır ve onları görmek için harcadığı çabayla ters orantılıdır.

Dünya, modern matematiğin bu zirvesine ve doruk noktasına hayran olmaya heveslidir: o kadar genel bir teorem ki, bunun özel bir uygulaması mümkün değildir.

Çoğu zaman, yararlı olabilecek bir fikir kendini gösterdiğinde, bunu takdir etmiyoruz, çünkü o kadar göze çarpmıyor. Uzmanın belki de deneyimsizden daha fazla fikri yoktur, ancak sahip olduğu şeyi daha çok takdir eder ve onu daha iyi kullanır.

Etkili bir şekilde öğretmek için bir öğretmenin öznesi için bir duygu geliştirmesi gerekir; Eğer kendisi hissetmiyorsa öğrencilerine canlılığını hissettiremez. Paylaşacak coşkusu olmadığı zaman coşkusunu paylaşamaz. Amacını nasıl ifade ettiği, yaptığı nokta kadar önemli olabilir; kişisel olarak önemli olduğunu hissetmesi gerekir.

Öğretmen nadiren şu soruları kaçırmayı göze alabilir: Bilinmeyen nedir? Veriler nelerdir? Durum nedir? Öğrenci, sorunun temel kısımlarını dikkatlice, tekrar tekrar ve çeşitli yönlerden düşünmelidir.

Öğretmenin ilk ve en önemli görevlerinden biri, öğrencilerine matematik problemlerinin birbirleriyle çok az bağlantısı olduğu ve başka hiçbir şeyle hiçbir bağlantısı olmadığı izlenimini vermemektir. Bir sorunun çözümüne bakarken bağlantılarını araştırmak için doğal bir fırsatımız var.

Önerilen sorunu çözemiyorsanız, önce ilgili bazı sorunları çözmeye çalışın.

Aptalların sorabileceği, bilge adamların cevaplayamayacağı birçok soru vardır.

Keşfin ilk kuralı beyne ve iyi şansa sahip olmaktır. Keşfin ikinci kuralı, sıkı oturmak ve parlak bir fikir edinene kadar beklemektir.

Yanlış zamanda veya yerde tanıtıldığında, iyi mantık, iyi öğretimin en büyük düşmanı olabilir.

Matematik tembel olmaktır. Matematik, ilkelerin işi sizin için yapmasına izin vermektir, böylece işi kendiniz yapmak zorunda kalmazsınız

Geometri, yanlış rakamlar üzerinde doğru akıl yürütme bilimidir.

Gerçek başarının açık sırrı, tüm kişiliğinizi sorununuza atmaktır.

Zürich'te ileri düzey öğrenciler için ders verdiğim bir seminer vardı ve von Neumann sınıftaydı. Belli bir teoreme geldim ve kanıtlanmadığını ve zor olabileceğini söyledim. Von Neumann hiçbir şey söylemedi ama beş dakika sonra elini kaldırdı. Onu çağırdığımda tahtaya gitti ve kanıtı yazmaya devam etti. Ondan sonra von Neumann'dan korktum.

Kanıt aksiyomlardan başlarsa, birkaç durumu ayırt eder ve ders kitabında on üç satır alır... gençlere matematiğin en belirgin şeyleri en az belirgin şekilde kanıtlamaktan ibaret olduğu izlenimini verebilir.

Geleceğin matematikçisi ... sorunları çözmeli, kendi çizgisinde olan sorunları seçmeli, çözümleri üzerinde meditasyon yapmalı ve yeni sorunlar icat etmelidir. Bu yolla ve diğer tüm yollarla, ilk önemli keşfini yapmaya çalışmalıdır: beğenilerini ve beğenmediklerini, zevkini, kendi çizgisini keşfetmelidir.

İlk mantarınızı aldığınızda veya ilk keşfinizi yaptığınızda etrafınıza bakın: kümeler halinde büyürler.

Bir teoremi kanıtlamanız gerekiyorsa, acele etmeyin. Her şeyden önce, teoremin ne dediğini tam olarak anlayın, ne anlama geldiğini açıkça görmeye çalışın. Sonra teoremi kontrol edin; yanlış olabilir. Sonuçları inceleyin, kendinizi gerçeğe ikna etmek için gereken belirli örnekleri doğrulayın. Teoremin doğru olduğundan emin olduğunuzda, bunu kanıtlamaya başlayabilirsiniz.